Rapporti e Proporzioni

Rapporti
Il rapporto di due numeri, il secondo diverso da zero, è il quoto  del primo per il secondo.

Ad esempio:

Il rapporto fra 40 è 5 è 8 perché  40 diviso 5 uguale 8
40: 5 = 8

Il primo numero è chiamato ( 40 ) antecedente, il secondo numero ( 8 ) è chiamato conseguente.

Un rapporto non cambia moltiplicando, o dividendo i suoi termini per uno stesso numero 
diverso da zero.

Se in un rapporto si scambia l' antecedente con il conseguente si ha un nuovo rapporto che si 
dice inverso, o reciproco, di quello dato

Proporzioni  
Una proporzione è l' uguaglianza di due rapporti.

Ad esempio:

45:9=10:2
Il primo ( 45 ) e il quarto termine ( 2 ) si chiamano antecedenti.
Il secondo ( 9 ) e il terzo termine ( 10 ) si chiamano conseguenti.

Il primo ( 45 ) e il quarto termine ( 2 ) si chiamano estremi.
Il secondo ( 9 ) e il terzo termine ( 10 ) si chiamano medi.
 

Si legge:
45 quarantacinque
: sta a
= come

9 nove
: sta a
2 due

45 sta a 9 come 10 sta a 2

Proprietà fondamentale

Ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

45:9=10:2

45 * 2 = 90
9 * 10 = 90

Una proporzione rimane vera se si moltiplicano o se si dividono i due termini 
  di uno stesso rapporto ( medio con un estremo ) per uno stesso numero diverso da zero.

Ad esempio:

120: 80 = 9  : 6

120 * 6 = 720
80 * 9 = 720
- - -  - - - ---------------
120 : 4 = 30
80 : 4 = 20

30 : 20 = 9 : 6

30 * 6 = 180
20 * 9 = 180

Una proporzione rimane vera se si elevano al quadrato tutti i termini.
Ad esempio:

5: 10 = 20 : 40

52 : 102  = 202  : 402 

25 : 100 = 400 : 1600

100 * 400 = 40000
25 * 1600 = 40000
 

Se il prodotto dei medi non è uguale al prodotto degli estremi allora non è una
proporzione.

Ad esempio:

20:12=10:2    ( non è una proporzione )
20 * 2 = 20
12 * 10 = 120                                                  

Proprietà permutare

Dicesi proprietà del permutare se in una proporzione si scambiano fra loro i due medi,
o i due estremi, si ha una nuova proporzione.
Ad esempio:

5: 10 = 20 : 40

Si hanno altre due altre proporzioni:

5: 20 = 10 : 40 ( proprietà permutare)

40:10=20: 5     ( proprietà permutare)

Proprietà dell' invertire

Dicesi proprietà dell' invertire se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il 
suo conseguente si ha una nuova proporzione.

Ad esempio:
5: 10 = 20 : 40

10:5= 40: 20

Proporzione continua

Una proporzione si dice continua quando hanno i medi uguali.

Ad esempio:

8 : 16 = 16 : 32

Per trovare le incognite:

Per determinare un estremo incognito di una proporzione è uguale al prodotto dei
medi diviso l' altro estremo.

Ad esempio: 

x: 10=20:40

x=  10 * 20   =  200     = 5
           40             40

5: 10 = 20 : 40

Per determinare un medio incognito di una proporzione è uguale al prodotto 
degli estremi diviso l' altro medio

Ad esempio:

5 : 10 = x : 40

x=  5 * 40   =  200     = 20
          10           10

5: 10 = 20 : 40

Per determinare il medio incognito di una proporzione continua è uguale alla
radice quadrata del prodotto degli estremi.

Ad esempio:

8 : x  = x  : 32   
         ______                  ______

X= V 8 * 32             =   V 256         = 16

8 : 16 = 16 : 32

Proprietà del comporre

In ogni proporzione la somma degli antecedenti, sta alla somma  dei conseguenti, come
 un antecedente sta al suo conseguente.
Ad esempio:

a:b=c:d
si hanno altre proporzioni:

(a + c) : (b + d ) = a : b
( a + c ) : ( b + d ) = c : d


Proprietà del scomporre

In ogni proporzione la differenza degli antecedenti, sta alla differenza  dei conseguenti, come
 un antecedente sta al suo conseguente.
Ad esempio:

a:b=c:d

si hanno altre proporzioni:
(a - c ) : ( b - d ) = a : b

( a - c ) : ( b - d ) = c : d