Le Radici Quadrate

In matematica, la radice quadrata di un numero $x$ è un numero $y$ tale che il suo quadrato sia $x$ , ovvero tale che $y^2=y\cdot y=x$ . Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata non negativa, chiamata radice quadrata principale, che viene rappresentata simbolicamente come $\sqrt{x}$ o, nella notazione esponenziale, come $x^{\frac{1}{2}}$ . Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto, ovvero $\sqrt{x}$ e $-\sqrt{x}$ .

Il concetto di radice quadrata può essere esteso ai numeri negativi nell'ambito dei numeri complessi. Più generalmente, il concetto di radice quadrata può essere esteso in qualunque contesto in cui sia ben definita la nozione di quadrato di un elemento.

Le Proprietà

La funzione radice quadrata principale ha una grande utilità, perché pone in corrispondenza l'insieme dei numeri reali non negativi $\R_0^+$ con se stesso; si individua scrivendo $\sqrt{x}$ o anche $x^{1/2}$ . Più precisamente questa endofunzione entro $\R_0^+$ è una biiezione crescente e continua.

L'equazione $x = \sqrt{x}$ ha solo due soluzioni, $0$ e $1$ . In altre parole la funzione radice quadrata principale è una permutazione (cioè una endofunzione biiettiva) di $\mathbb{R}_0^+$ avente $\{0,1\}$ come insieme dei punti fissi.

Per ogni due numeri reali positivi $x$ e $y$ si trovano subito le identità

$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y \qquad \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.$

Queste uguaglianze sono in sintonia con il fatto che la funzione radice quadrata fa corrispondere all'area di un quadrato la lunghezza del suo lato. Esse inoltre per $y=100$ diventano

$\sqrt{\left( 100y \right) } \,=\, 10 \cdot \sqrt y \quad\mbox{e}\quad \sqrt{\frac{x}{100}} = \frac{\sqrt{x}}{10}$ .

Queste uguaglianze implicano che per tabulare nella notazione decimale i valori assunti dalla funzione radice quadrata principale è sufficiente conoscere i suoi valori nell'intervallo $[0,100)$ .

Per ogni numero reale $x$ si trova che

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|.$

Si supponga che $x$ e $a$ siano reali e che $x^2 = a$ , e che si voglia ottenere la $x$ . Un errore comune consiste nell'estrarre la radice quadrata e dedurre che $x = \sqrt a$ . Questo non è lecito, in quanto la radice quadrata principale di $x^2$ non è $x$ , ma il valore assoluto $\left| x \right|$ , come dice l'uguaglianza precedente. Non commettendo questo errore si potrebbe concludere che $\left| x \right| = \sqrt a$ , o equivalentemente $x = \pm\sqrt a$ .

L'uguaglianza che segue è utile in molti passi del calcolo infinitesimale, ad esempio per dimostrare che la funzione radice quadrata è continua e differenziabile, o per calcolare certilimiti:

$\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y},$

valida per tutte le coppie di interi non negativi $x$ e $y$ che non sono entrambi zero.

La funzione $f(x) = \sqrt x$ ha il seguente grafico, ottenibile da una metà di parabola avente come asse l'asse delle $x$ .

Questa funzione, continua per tutti gli $x$ non negativi, è differenziabile per tutti gli $x$ positivi, ma non è differenziabile per $x=0$ , poiché la pendenza della tangente nel corrispondente punto tende a $+\infty$ ).

La derivata della funzione è data da

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.$

La serie di Taylor di $\sqrt{x+1}$ in un intorno di $x=0$ si può ottenere servendosi del teorema binomiale: $\sqrt{x+1} = 1 + \sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1} }x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$

per $|x|<1$ .