Algebra

L'algebra è una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazioni e quantità.

Storia dell'algebra

Concetti dell'algebraIl termine algebra (dall'arabo الجبر, al-ğabr che significa "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare") deriva dal nome del libro del matematico persiano Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, intitolato Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala("Compendio sul Calcolo per Completamento e Bilanciamento"), conosciuto anche nella forma breve Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala, che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.

$0,1,2,3,4,5,6 \ldots$ Un numero è un oggetto astratto, usato per misurare una quantità. I numeri più utilizzati sono i numeri naturali:

Aggiungendo a questi i numeri negativi, tramite il segno meno, si ottengono tutti i numeri interi:

$\ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$

Aggiungendo a questi le frazioni si ottengono tutti i numeri razionali:

$-6, -\frac 3 2, \frac {27}4, \ldots\,\!$

Infine, i numeri reali contengono molti altri numeri che non possono essere espressi come frazioni, quali ad esempio:

$\sqrt 2, \pi, e, \ldots\,\!$

Aggiungendo a questi un elemento $i$ , chiamato unità immaginaria, tale che $i^2 = -1$ , si ottengono i numeri complessi:

$2-i, \sqrt 2 + 3i, \pi i, \ldots$

Gli insiemi formati dai numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi sono indicati con le lettere:

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}.$

Ciascun insieme è contenuto nel successivo, come indicato dal simbolo $\subset$ di inclusione insiemistica. Ad esempio, il numero $-3$ non è un numero naturale, ma è un numero intero: quindi è anche razionale, reale e complesso.

Operazioni

$1 + \frac 32 \,;\quad 3 \times \sqrt 2 \,;\quad 8 - 2^2 \,;\quad 3i(5i) .\,\!$ Con le operazioni aritmetiche di addizione, sottrazione, prodotto e divisione è possibile manipolare i numeri e scrivere espressioni del tipo

Lo stesso numero può essere scritto in modo diverso, ad esempio:

$1 = 3-2 = 5^0 = \frac 77 = -i^2 .$

Costanti e variabiliL'algebra elementare è una evoluzione dell'aritmetica: oltre ai numeri e alle quattro operazioni, in algebra si fa uso di simboli letterali che (a seconda del contesto) possono essere considerati numeri costanti o variabili. Ad esempio:

$1 + c \,;\quad x^2 -1 \,;\quad (a+b)^2.$

Usando simboli letterali è possibile enunciare dei teoremi che sono validi in contesti molto generali. Ad esempio, il quadrato del binomio

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

è una uguaglianza valida per qualsiasi valore di $a$ e $b$ .

Equazioni

Una equazione è una uguaglianza che può contenere alcune variabili, dette incognite. L'equazione è verificata solo per alcuni valori delle incognite, detti soluzioni. Determinare le soluzioni di una equazione è un problema centrale in algebra. Ad esempio, nell'equazione di primo grado

$2x + a = 1$

la lettera $a$ è una costante, mentre $x$ è l'incognita da determinare. Questa equazione ha una sola soluzione; data da

$x = \frac {1-a}2.$

Polinomi

Un polinomio è una espressione algebrica ottenuta manipolando alcune costanti e variabili con le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione (ma non la divisione). Ad esempio:

$p(x) = 3x^2 + x - c$

è un polinomio con variabile $x$ . Un polinomio può avere più di una variabile, ad esempio

$q(x,y,z) = xyz - 3$

ha tre variabili $x,y,z$ .

Una radice di un polinomio con una sola variabile $x$ è un valore numerico $x_0$ per cui vale

$p(x_0)=0.$

Determinare le radici di un polinomio equivale quindi a risolvere una equazione, in cui il polinomio viene posto uguale a zero. Esistono delle formule generali per determinare le radici di un polinomio di grado 1, 2, 3 o 4. Ad esempio, un polinomio di secondo grado

$ax^2 +bx +c$

può avere al massimo due radici reali, determinate dalla formula

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

Se l'argomento del radicale $b^2 - 4ac$ è negativo, il polinomio non ha radici reali. Per il teorema di Abel-Ruffini, non esistono formule risolutive generali per equazioni di grado maggiore o uguale a 5.

Un polinomio può non avere radici reali. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce però che ne esiste sempre (almeno) una radice complessa.

Numeri algebrici e trascendenti

Un numero reale (o complesso) è algebrico se è radice di un polinomio a coefficienti interi. Ad esempio, ogni numero razionale

$p/q$ è algebrico, perché radice del polinomio

$qx - p.$

che ha coefficienti $p$ e $q$ interi. La radice $n$ -esima reale $\sqrt[n] k$ di un intero $k>0$ è anch'esso un numero algebrico, radice del polinomio

$x^n - k.$

Più in generale, tutti i numeri ottenibili a partire dagli interi usando le quattro operazioni ed i radicali sono algebrici. Ad esempio:

$\frac {\sqrt 2 - \sqrt[4] 3 + 1}{ \sqrt[3] 5} - 7$

è un numero algebrico. Esistono però algebrici non scrivibili in questa forma, per il teorema di Abel-Ruffini. Fra i numeri complessi, l'unità immaginaria $i$ è algebrica perché radice del polinomio $x^2+1$ .

Un numero reale (o complesso) è trascendente se non è algebrico. I numeri pi greco $\pi$ e la costante di Nepero $e$ sono trascendenti.

Strutture algebriche

Una struttura algebrica è un insieme dotato di una o più operazioni che soddisfano determinati assiomi. Sulla base di questi assiomi è quindi possibile dimostrare vari teoremi che risultano validi in contesti molto generali. Le strutture algebriche hanno un ruolo centrale nell'algebra astratta e in tutta la matematica moderna.

Gruppi

proprietà associativa: dati Un gruppo è un insieme $G$ dotato di una operazione binaria, che può essere indicata con il simbolo $*$ , che soddisfa gli assiomi seguenti.

$a, b, c$ appartenenti a $G$ , vale $(a*b)*c = a*(b*c)$ .
esistenza dell'elemento neutro: esiste in $G$ un elemento neutro $e$ rispetto all'operazione *, cioè tale che $a*e = e*a = a$ per ogni $a$ appartenente a $G$ .
esistenza dell'inverso: ad ogni elemento $a$ di $G$ è associato un elemento $b$ , detto inverso di $a$ , tale che $a*b = b*a = e$ .

Ad esempio, i numeri interi formano un gruppo con l'operazione $+$ di addizione. L'insieme $G$ e l'operazione $*$ sono entrambi importanti nella struttura di gruppo: per identificare il gruppo degli interi con l'addizione si scrive la coppia

$(\mathbb Z, +).$

Anelli e campi

proprietà commutativa: dati Un anello è un insieme $A$ dotato di due operazioni binarie, generalmente indicate con gli usuali simboli $+$ e $\times$ dell'addizione e della moltiplicazione, che soddisfa alcuni assiomi. L'operazione $+$ deve soddisfare gli assiomi di gruppo già elencati; inoltre devono valere

$a, b$ appartenenti ad $A$ , vale $a+b = b+a$ .
proprietà associativa per l'operazione $\times$ : dati $a, b, c$ appartenenti ad $A$ , vale $(a\times b)\times c = a\times (b\times c)$ .
proprietà distributiva: dati $a, b, c$ appartenenti ad $A$ , vale $(a+b)\times c = a\times c + b\times c$ e $a\times (b+c) = a\times b + a \times c$ .

Ad esempio, i numeri interi formano un anello con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, e si scrive:

$(\mathbb Z, +, \times).$

L'elemento neutro per l'operazione $+$ viene solitamente indicato con il simbolo $0$ .

Un campo è un anello che soddisfa alcuni assiomi aggiuntivi per l'operazione $\times$ , e cioè:

proprietà commutativa: dati $a, b$ appartenenti ad $A$ , vale $a\times b = b\times a$ .
esistenza dell'elemento neutro: esiste in $A$ un elemento neutro $1$ rispetto all'operazione $\times$ , cioè tale che $a\times 1 = 1\times a = a$ per ogni $a$ appartenente a $A$ .
esistenza dell'inverso: ad ogni elemento $a\neq 0$ di $A$ è associato un elemento $b$ , detto inverso di $a$ , tale che $a\times b = b\times a = 1$ .

I numeri interi non formano un campo perché 2 non ha un inverso rispetto al prodotto. I numeri razionali formano un campo e si scrive:

$(\mathbb Q, +, \times).$

Altri campi importanti sono i numeri reali $\mathbb R$ ed i numeri complessi $\mathbb C$ .

Spazi vettoriali:

$(V, K, +, \times)$ Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica lievemente più complessa. Formalmente, consiste di una quaterna

in cui $V$ è un insieme di oggetti detti vettori, $K$ un campo, e $+,\times$ due operazioni binarie che soddisfano una lunga lista di assiomi. Come i vettori del piano cartesiano, i vettori di $V$ possono essere sommati e riscalati, cioè moltiplicati per un elemento del campo $K$ detto scalare. La nozione di spazio vettoriale è centrale in tutta la matematica moderna.

Settori dell'algebra

Algebra elementare:

Alle espressioni costruite con l'uso delle variabili e delle costanti, si applicano le operazioni aritmetiche di addizione, differenza (più generalmente, somma algebrica), moltiplicazionee divisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come i polinomi e le equazioni, e studiati i metodi per trovarne le eventuali radici dei primi e soluzioni delle seconde.L'algebra elementare può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'aritmetica, tramite l'introduzione di oggetti simbolici, chiamati variabili e costanti, denotati solitamente con lettere dell'alfabeto.

Algebra astratta:

Esempi di strutture algebriche sono i gruppi, gli anelli, i campi e gli spazi vettoriali. Le operazioni di cui sono dotate queste strutture soddisfano leggi molto simili a quelle valide negli esempi numerici menzionati sopra. Esempi di strutture le cui operazioni soddisfano altre leggi, a volte apparentemente controintuitive, sono i reticoli, l'Algebra di Boole, le Algebre di Lie.L'algebra astratta è un'estensione dell'algebra elementare, nata verso la fine del XIX secolo e sviluppatasi enormemente nel XX secolo. L'algebra astratta definisce e studia lestrutture algebriche: insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinati assiomi. Esempi molto particolari di strutture algebriche sono costituiti dagli usuali insiemi numerici, quali i numeri interi, i razionali, i reali e i complessi con le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto, o anche con una sola di queste operazioni.

Algebra lineare:

Teoria dei gruppi[modifica | modifica wikitesto]L'algebra lineare studia le matrici e gli spazi vettoriali. Uno spazio vettoriale è una generalizzazione astratta della nozione dell'insieme dei vettori del piano (o dello spazio) in senso fisico. Uno dei suoi principali vantaggi è la possibilità di introdurre spazi di qualunque dimensione (anche infinita). Viene applicata anche per studiare le equazioni lineari, cioè le equazioni omogenee di primo grado. Le applicazioni dell'algebra lineare sono di importanza fondamentale in fisica, in molte branche (anche non algebriche) della matematica e in altre discipline scientifiche.

Teoria dei gruppi:
La teoria dei gruppi studia le strutture di gruppo. Oltre ad avere un profondo interesse intrinseco, la teoria dei gruppi ha importanti applicazioni in quasi tutti i settori della geometria, e in particolare alla topologia, e allo studio delle simmetrie. Ha anche una forte correlazione con la combinatoria: l'insieme delle permutazioni di un insieme è ad esempio un gruppo rispetto alla composizione di funzioni. Ha anche notevoli applicazioni in Teoria dei numeri, e talvolta in Analisi.Un gruppo è una struttura algebrica dotata di una singola operazione binaria che soddisfa alcune ben determinate proprietà (gli assiomi di gruppo). Esempi di gruppi sono i numeri interi, con l'operazione di somma, oppure l'insieme delle simmetrie di un particolare oggetto geometrico (con l'operazione di composizione di funzioni). È da notare che, mentre nel primo caso vale la proprietà commutativa a+b=b+a (il gruppo si dice abeliano), la proprietà analoga non vale, in generale, nel secondo caso, perché non è necessariamente vero che f o g = g o f.

Teoria degli anelli:

La teoria degli anelli studia queste strutture, e ha applicazioni in algebra e in molte altre branche della matematica, in particolare in geometria algebrica.Un anello è una struttura algebrica con due operazioni, la prima delle quali soddisfa agli assiomi di un gruppo commutativo. Considerando anche la seconda operazione, si richiede che vengano soddisfatte molte delle proprietà valide per i numeri interi, con le operazioni di somma e prodotto. Ma, ad esempio, in un anello generico può capitare che ab=0, senza che necessariamente uno degli elementi a o b sia uguale a 0 (questa proprietà è invece verificata negli interi). Tra gli insiemi che risultano essere degli anelli, troviamo l'insieme deipolinomi a coefficienti in un dato anello, quello delle matrici (con opportune operazioni di somma e prodotto), e l'insieme dei (numeri razionali).

Teoria dei campi:

Un campo è un anello che deve soddisfare degli assiomi ulteriori, che, intuitivamente, asseriscono la possibilità di effettuare le divisioni (ovviamente solo per un elemento non nullo). Ad esempio gli interi non sono un campo, mentre i razionali sì.

La teoria dei campi studia queste strutture. I campi sono l'oggetto base necessario per la definizione degli spazi vettoriali e quindi per tutta l'algebra lineare. La teoria di Galois è una teoria che mette in relazione i campi, e le loro possibili estensioni, coi gruppi finiti, e i loro possibili sottogruppi. La teoria di Galois fornisce metodi estremamente potenti per lo studio della risolubilità delle equazioni; in particolare, è fondamentale per dimostrare che non esiste una formula generale (che faccia uso solo di radicali) per la risoluzione delle equazioni di 5º grado.

Algebra computazionale:

L'algebra computazionale studia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.

Altre branche dell'algebra astratta[modifica | modifica wikitesto]

Oltre alle strutture già descritte, l'algebra ne studia molte altre, tra cui semigruppi, reticoli, moduli, algebre su campo, bialgebre, algebre di Hopf, superalgebre.

L'algebra commutativa studia gli anelli commutativi e le loro applicazioni in geometria algebrica.
L'algebra non commutativa, per contro, si occupa degli anelli non commutativi.
La teoria delle rappresentazioni studia le realizzazioni mediante matrici di varie strutture algebriche, in particolare dei gruppi finiti, dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
L'algebra universale studia le proprietà comuni a tutte le strutture algebriche sopra accennate o almeno a estese collezioni di strutture algebriche caratterizzate da proprietà dei rispettivi sistemi di assiomi; questo settore dell'algebra ha molti punti in comune con la teoria delle categorie.
L'algebra applicata si occupa delle applicazioni dell'algebra, come quelle riguardanti la crittografia.