I Numeri Relativi

I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri interi negativi (−1, −2, −3,...), costruiti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z , perché è la lettera iniziale di “Zahl” che in tedescosignifica numero.

Gli interi vengono quindi definiti come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali.

I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma unnumero razionale: i matematici esprimono questo fatto dicendo che Z è un anello commutativo ma non un campo.

Proprietà algebriche

Come i numeri naturali, Z è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, Z (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se a e b sono interi, anche a − b lo è. Tuttavia, Z non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio 1/2) non è necessariamente un numero intero.

La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero a, b e c.

Gruppo

Nel linguaggio dell'algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che Z è un gruppo abeliano con l'operazione somma. In particolare, Z è ungruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte 1 + 1 + ... + 1 oppure (−1) + (−1) + ... + (−1). Il gruppo Z è l'unico gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a Z.

Anello

Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che Z con l'operazione prodotto forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero x tale che 2x = 1. Quindi Z non è un gruppo se considerato con l'operazione prodotto.

Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che Z con l'addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti Z è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che Z non è un campo.

L'anello Z è inoltre un dominio d'integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo Q dei numeri razionali.