Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo ed è una versione limitata ad essi del Teorema di Carnot.

Origine

Quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto[1] ai babilonesi, ed era conosciuto anche in Cina e sicuramente in India come dimostrano molte scritture fra cui lo Yuktibhasa. La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.

Enunciato

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

oppure: In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

È interessante notare come in altre lingue (segnatamente in Inglese, Francese e Spagnolo) la definizione del teorema di Pitagora non ingeneri alcun dubbio circa il corretto utilizzo degli aggettivi "equivalente" al posto di "uguale" e viceversa. Infatti in tali idiomi nella definizione del teorema non si fa riferimento ai "quadrati costruiti sui cateti" o al "quadrato costruito sull'ipotenusa" ma più riduttivamente ci si riferisce ai "quadrati (delle lunghezze) dei cateti" o al "quadrato (della lunghezza) dell'ipotenusa".

Questa circostanza consente il solo e semplice utilizzo dei termini "equal" (in Inglese), "égal" (in Francese), "igual" (in Spagnolo) nelle rispettive definizioni del teorema.

In italiano, viceversa, se si vuole usare l'aggettivo "uguale" invece di "equivalente" bisogna necessariamente riferirsi o "alle aree dei quadrati/area del quadrato" costruiti rispettivamente sui cateti e sull'ipotenusa (area intesa come misura della estensione di una superficie), oppure ci si deve riferire ai "quadrati delle lunghezze dei cateti" e al "quadrato della lunghezza dell'ipotenusa".

La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dal fatto che, in assenza del termine "costruito", la parola "quadrato" può definire sia lasuperficie della figura geometrica in quanto tale, sia la generica operazione di elevamento alla seconda potenza. Nella lingua inglese la medesima ambivalenza è mitigata dal fatto che per definire il quadrato inteso come superficie è possibile utilizzare il termine "foursquare" invece del termine "square".

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:

o, in alternativa, risolvendolo per c:

Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

e

Se la terna  è costituita da numeri interi essa si chiama terna pitagorica.

Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nell'ultimo enunciato degli Elementi.